Série binomiale

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La série binomiale est la série de Taylor pour la fonction donnée par où est un nombre complexe arbitraire et | x | <1. Explicitement,

et la série binomiale est la série de puissance sur le côté droit de ( 1 ), exprimée en termes de coefficients binomiaux (généralisés)

Cas particuliers [ modifier ]

Si α est un entier non négatif  n , alors le ( n  + 2) ème terme et tous les termes ultérieurs de la série sont 0, puisque chacun contient un facteur ( n  -  n ); donc dans ce cas la série est finie et donne la formule binomiale algébrique .

La variante suivante est valable pour le complexe arbitraire  β , mais est particulièrement utile pour gérer les exposants entiers négatifs dans ( 1 ):

Pour le prouver, remplacez x  = - z dans ( 1 ) et appliquez une identité de coefficient binomial, qui est,

Convergence [ modifier ]

Conditions de convergence [ modifier ]

La convergence de ( 1 ) dépend des valeurs des nombres complexes α et  x . Plus précisément:

  1. Si | x | <1 , la série converge absolument pour tout nombre complexe α .
  2. Si | x | = 1 , la série converge absolument si et seulement si soit Re ( α )> 0 ou α = 0 .
  3. Si | x | = 1 et x ≠ −1 , la série converge si et seulement si Re ( α )> −1 .
  4. Si x = −1 , la série converge si et seulement si soit Re ( α )> 0 ou α = 0 .
  5. Si | x | > 1 , la série diverge, sauf si α est un entier non négatif (auquel cas la série est une somme finie).

En particulier, si n'est pas un entier non négatif, la situation à la limite du disque de convergence, , se résume comme suit:

  • Si Re ( α )> 0 , la série converge absolument.
  • Si −1 <Re ( α ) ≤ 0 , la série converge conditionnellement si x ≠ −1 et diverge si x = −1 .
  • Si Re ( α ) ≤ −1 , la série diverge.

Identités à utiliser dans la preuve [ modifier ]

Ce qui suit est valable pour tout nombre complexe  α :

Sauf s'il s'agit d'un entier non négatif (auquel cas les coefficients binomiaux disparaissent car il est plus grand que ), une relation asymptotique utile pour les coefficients binomiaux est, en notation de Landau :

Ceci est essentiellement équivalent à la définition d'Euler de la fonction Gamma :

et implique immédiatement les limites les plus grossières

pour certaines constantes positives m et M .

La formule ( 2 ) du coefficient binomial généralisé peut être réécrite comme

Preuve [ modifier ]

Pour prouver (i) et (v), appliquez le test du rapport et utilisez la formule ( 2 ) ci-dessus pour montrer que chaque fois que ce n'est pas un entier non négatif, le rayon de convergence est exactement 1. La partie (ii) découle de la formule ( 5 ), par comparaison avec la série p

avec . Pour prouver (iii), utilisez d'abord la formule ( 3 ) pour obtenir

puis utiliser à nouveau (ii) et la formule ( 5 ) pour prouver la convergence du côté droit quand est supposé. En revanche, la série ne converge pas si et , encore une fois, par la formule ( 5 ). Par ailleurs, nous pouvons observer que , pour tous , . Ainsi, par formule ( 6 ), pour tous . Ceci complète la preuve de (iii). En ce qui concerne (iv), nous utilisons l'identité ( 7 ) ci-dessus avec et à la place de , avec la formule ( 4 ), pour obtenir

comme . L'assertion (iv) découle maintenant du comportement asymptotique de la séquence . (Précisément, certainement converge vers si et diverge vers si . Si , alors converge si et seulement si la séquence converge , ce qui est certainement vrai si mais faux si : dans ce dernier cas la séquence est dense , du fait qu'elle diverge et converge à zéro).

Sommation de la série binomiale [ modifier ]

L'argument habituel pour calculer la somme des séries binomiales est le suivant. Différenciation terminologique des séries binomiales au sein du disque de convergence | x | <1 et en utilisant la formule ( 1 ), on a que la somme des séries est une fonction analytique résolvant l'équation différentielle ordinaire (1 +  x ) u '( x ) = αu ( x ) avec des données initiales u (0) = 1 L'unique solution de ce problème est la fonction u ( x ) = (1 +  x ) α , qui est donc la somme des séries binomiales, au moins pour | X| <1. L'égalité s'étend à | x | = 1 chaque fois que la série converge, par suite du théorème d' Abel et par continuité de (1 +  x ) α .

Histoire [ modifier ]

Les premiers résultats concernant les séries binomiales pour des exposants autres que des nombres entiers positifs ont été donnés par Sir Isaac Newton dans l'étude des zones comprises sous certaines courbes. John Wallis s'est appuyé sur ce travail en considérant des expressions de la forme y = (1 - x 2 ) mm est une fraction. Il a constaté que (écrit en termes modernes) les coefficients successifs c k de (- x 2 ) k se trouvent en multipliant le coefficient précédent par(comme dans le cas des exposants entiers), donnant ainsi implicitement une formule pour ces coefficients. Il écrit explicitement les instances suivantes [1]

La série binomiale est donc parfois appelée théorème binomial de Newton . Newton ne donne aucune preuve et n'est pas explicite sur la nature de la série; très probablement, il a vérifié les instances traitant la série comme (encore une fois dans la terminologie moderne) des séries formelles de puissance . [la citation nécessaire ] Plus tard, Niels Henrik Abel a discuté du sujet dans un mémoire, traitant notamment des questions de convergence.

Voir aussi [ modifier ]

  • Théorème binomial
  • Tableau des séries newtoniennes
  • Approximation binomiale

Références [ modifier ]

  1. ^ L'histoire du théorème binomial, par JL Coolidge , The American Mathematical Monthly 56 : 3 (1949), pp. 147–157. En fait, cette source donne tous les termes non constants avec un signe négatif, ce qui n'est pas correct pour la deuxième équation; il faut supposer qu'il s'agit d'une erreur de transcription.