Calcul

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Le calcul , à l'origine appelé calcul infinitésimal ou «le calcul des infinitésimaux », est l' étude mathématique du changement continu, de la même manière que la géométrie est l'étude de la forme et l' algèbre est l'étude des généralisations d' opérations arithmétiques .

Il a deux branches principales, le calcul différentiel et le calcul intégral ; le premier concerne les taux instantanés de changement et les pentes des courbes, tandis que le calcul intégral concerne l'accumulation de quantités et les aires sous ou entre les courbes. Ces deux branches sont liées l'une à l'autre par le théorème fondamental du calcul , et elles utilisent les notions fondamentales de convergence des suites infinies et des séries infinies jusqu'à une limite bien définie . [1]

Le calcul infinitésimal a été développé indépendamment à la fin du 17e siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz . [2] [3] Aujourd'hui, le calcul a des utilisations répandues dans la science , l' ingénierie et l' économie . [4]

Dans l'enseignement des mathématiques , le calcul désigne des cours d' analyse mathématique élémentaire , qui sont principalement consacrés à l'étude des fonctions et des limites. Le mot calcul (pluriel lithiase ) est un latin mot, ce qui signifie à l' origine « petit caillou » (ce sens est maintenue en médecine - voir calcul (médecine) ). Parce que de tels cailloux ont été utilisés pour le calcul, le sens du mot a évolué et signifie aujourd'hui généralement une méthode de calcul. Il est donc utilisé pour nommer les méthodes spécifiques des théories de calcul et connexes, tels que le calcul propositionnel , calcul Ricci ,calcul des variations , calcul lambda et calcul de processus .

Histoire

Le calcul moderne a été développé dans l'Europe du XVIIe siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz (indépendamment l'un de l'autre, première publication à peu près à la même époque), mais des éléments en sont apparus dans la Grèce antique, puis en Chine et au Moyen-Orient, et encore plus tard encore. dans l'Europe médiévale et en Inde.

Ancien

Archimède a utilisé la méthode de l'épuisement pour calculer l'aire sous une parabole.

La période antique a introduit certaines des idées qui ont conduit au calcul intégral , mais ne semble pas avoir développé ces idées de manière rigoureuse et systématique. Les calculs de volume et de surface , un objectif du calcul intégral, peuvent être trouvés dans le papyrus égyptien de Moscou ( 13e dynastie , vers  1820  avant JC); mais les formules sont des instructions simples, sans indication de méthode, et certaines d'entre elles manquent de composants majeurs. [5]

Dès l'âge des mathématiques grecques , Eudoxe ( vers  408–355  av . JC) a utilisé la méthode de l'épuisement , qui préfigure le concept de limite, pour calculer les surfaces et les volumes, tandis qu'Archimède ( vers  287–212  av . JC) a développé cette idée plus loin , inventant des heuristiques qui ressemblent aux méthodes du calcul intégral. [6]

La méthode d'épuisement a ensuite été découverte indépendamment en Chine par Liu Hui au 3ème siècle après JC afin de trouver l'aire d'un cercle. [7] Au 5ème siècle après JC, Zu Gengzhi , fils de Zu Chongzhi , a établi une méthode [8] [9] qui serait plus tard appelée le principe de Cavalieri pour trouver le volume d'une sphère .

Médiéval

Alhazen, mathématicien et physicien arabe du XIe siècle

Au Moyen-Orient, Hasan Ibn al-Haytham, latinisé comme Alhazen ( vers  965  - vers  1040  CE) a dérivé une formule pour la somme des quatrièmes puissances . Il utilisa les résultats pour réaliser ce que l'on appellerait maintenant une intégration de cette fonction, où les formules des sommes des carrés intégraux et des quatrièmes puissances lui permettaient de calculer le volume d'un paraboloïde . [dix]

Au 14ème siècle, les mathématiciens indiens ont donné une méthode non rigoureuse, ressemblant à la différenciation, applicable à certaines fonctions trigonométriques. Madhava de Sangamagrama et l' école d'astronomie et de mathématiques du Kerala ont ainsi déclaré des composants du calcul. Une théorie complète englobant ces composants est maintenant bien connue dans le monde occidental sous le nom de séries de Taylor ou d' approximations de séries infinies . [11] Cependant, ils n'étaient pas en mesure de «combiner de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unificateurs du dérivé et de l' intégrale , de montrer le lien entre les deux et de faire du calcul le grand outil de résolution de problèmes que nous avons aujourd'hui».[dix]

Moderne

Le calcul a été la première réalisation des mathématiques modernes et il est difficile de surestimer son importance. Je pense qu'il définit plus clairement que toute autre chose les débuts des mathématiques modernes, et le système d'analyse mathématique, qui est son développement logique, constitue toujours la plus grande avancée technique de la pensée exacte.

- John von Neumann [12]

En Europe, le travail de base était un traité écrit par Bonaventura Cavalieri , qui a soutenu que les volumes et les superficies devraient être calculés comme les sommes des volumes et des surfaces de sections transversales infiniment minces. Les idées étaient similaires à celles d'Archimède dans La Méthode , mais ce traité aurait été perdu au 13ème siècle, et n'a été redécouvert qu'au début du 20ème siècle, et aurait donc été inconnu de Cavalieri. Le travail de Cavalieri n'était pas très respecté car ses méthodes pouvaient conduire à des résultats erronés et les quantités infinitésimales qu'il introduisait étaient peu recommandables au début.

L'étude formelle du calcul a réuni les infinitésimales de Cavalieri avec le calcul des différences finies développé en Europe à peu près au même moment. Pierre de Fermat , affirmant avoir emprunté à Diophantus , a introduit le concept d' adéquation , qui représentait l'égalité jusqu'à un terme d'erreur infinitésimal. [13] La combinaison a été réalisée par John Wallis , Isaac Barrow et James Gregory , les deux derniers prouvant le deuxième théorème fondamental de calcul autour de 1670.

Isaac Newton a développé l'utilisation du calcul dans ses lois du mouvement et de la gravitation .

La règle de produit et la règle de chaîne , [14] les notions de dérivés supérieurs et de séries de Taylor , [15] et de fonctions analytiques [la citation nécessaire ] ont été utilisées par Isaac Newton dans une notation idiosyncratique qu'il a appliquée pour résoudre des problèmes de physique mathématique. Dans ses œuvres, Newton a reformulé ses idées pour les adapter à l'idiome mathématique de l'époque, en remplaçant les calculs par des infinitésimaux par des arguments géométriques équivalents qui étaient considérés sans reproche. Il a utilisé les méthodes de calcul pour résoudre le problème du mouvement planétaire, la forme de la surface d'un fluide en rotation, l'aplatissement de la terre, le mouvement d'un poids glissant sur une cycloïde , et bien d'autres problèmes discutés dans ses Principia Mathematica ( 1687). Dans d'autres travaux, il a développé des extensions de séries pour des fonctions, y compris des pouvoirs fractionnaires et irrationnels, et il était clair qu'il comprenait les principes de la série Taylor . Il n'a pas publié toutes ces découvertes, et à cette époque, les méthodes infinitésimales étaient encore considérées comme peu recommandables.

Gottfried Wilhelm Leibniz a été le premier à énoncer clairement les règles du calcul.

Ces idées ont été arrangées en un véritable calcul des infinitésimaux par Gottfried Wilhelm Leibniz , qui a été initialement accusé de plagiat par Newton. [16] Il est maintenant considéré comme un inventeur indépendant et un contributeur au calcul. Sa contribution a été de fournir un ensemble clair de règles pour travailler avec des quantités infinitésimales, permettant le calcul des dérivées secondes et supérieures, et fournissant la règle du produit et la règle de la chaîne , sous leurs formes différentielles et intégrales. Contrairement à Newton, Leibniz a accordé beaucoup d'attention au formalisme, passant souvent des jours à déterminer les symboles appropriés pour les concepts.

Aujourd'hui, Leibniz et Newton sont généralement reconnus pour avoir inventé et développé indépendamment le calcul. Newton a été le premier à appliquer le calcul à la physique générale et Leibniz a développé une grande partie de la notation utilisée dans le calcul aujourd'hui. Les idées de base fournies par Newton et Leibniz étaient les lois de différenciation et d'intégration, les dérivées secondes et supérieures et la notion de série polynomiale approximative. À l'époque de Newton, le théorème fondamental du calcul était connu.

Lorsque Newton et Leibniz ont publié leurs résultats pour la première fois, il y a eu une grande controverse sur le fait de savoir quel mathématicien (et donc quel pays) méritait d'être reconnu. Newton a d'abord tiré ses résultats (qui seront publiés plus tard dans sa Méthode des Fluxions ), mais Leibniz a d'abord publié son " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ". Newton a affirmé que Leibniz avait volé des idées de ses notes non publiées, que Newton avait partagées avec quelques membres de la Royal Society . Cette controverse a divisé les mathématiciens anglophones des mathématiciens d'Europe continentale pendant de nombreuses années, au détriment des mathématiques anglaises. [ citation nécessaire ]Un examen attentif des articles de Leibniz et Newton montre qu'ils sont arrivés à leurs résultats de manière indépendante, Leibniz commençant d'abord par l'intégration et Newton par la différenciation. Mais c'est Leibniz qui a donné son nom à la nouvelle discipline. Newton a appelé son calcul " la science des fluxions ".

Depuis l'époque de Leibniz et Newton, de nombreux mathématiciens ont contribué au développement continu du calcul. L'un des premiers et des plus complets ouvrages sur le calcul infinitésimal et intégral a été écrit en 1748 par Maria Gaetana Agnesi . [17] [18]

Maria Gaetana Agnesi

Fondations

En calcul, les fondations se réfèrent au développement rigoureux du sujet à partir des axiomes et des définitions. Au début du calcul, l'utilisation de quantités infinitésimales était jugée peu rigoureuse et férocement critiquée par un certain nombre d'auteurs, notamment Michel Rolle et Mgr Berkeley . Berkeley a décrit les infinitésimales comme les fantômes des quantités disparues dans son livre The Analyst en 1734. L'élaboration d'une base rigoureuse pour le calcul a occupé les mathématiciens pendant une grande partie du siècle après Newton et Leibniz, et est encore dans une certaine mesure un domaine de recherche actif aujourd'hui.

Plusieurs mathématiciens, dont Maclaurin , ont tenté de prouver la justesse de l'utilisation des infinitésimaux, mais ce ne sera que 150 ans plus tard que, grâce aux travaux de Cauchy et Weierstrass , on trouva enfin un moyen d'éviter de simples «notions» de quantités infiniment petites . [19] Les fondations du calcul différentiel et intégral avaient été jetées. Dans le Cours d'Analyse de Cauchy , nous trouvons un large éventail d'approches fondamentales, y compris une définition de la continuité en termes d'infinitésimaux, et un prototype (quelque peu imprécis) d'une définition (ε, δ) de limite dans la définition de la différenciation. [20]Dans son travail, Weierstrass a formalisé le concept de limite et éliminé les infinitésimaux (bien que sa définition puisse en fait valider les infinitésimaux nils carrés ). Suite aux travaux de Weierstrass, il est finalement devenu courant de baser le calcul sur des limites au lieu de quantités infinitésimales, bien que le sujet soit encore parfois appelé «calcul infinitésimal». Bernhard Riemann a utilisé ces idées pour donner une définition précise de l'intégrale. C'est aussi pendant cette période que les idées de calcul se généralisèrent à l' espace euclidien et au plan complexe .

En mathématiques modernes, les fondements du calcul sont inclus dans le domaine de l'analyse réelle , qui contient des définitions complètes et des preuves des théorèmes du calcul. La portée du calcul a également été considérablement étendue. Henri Lebesgue a inventé la théorie de la mesure et l'a utilisée pour définir les intégrales de toutes les fonctions sauf les plus pathologiques . Laurent Schwartz a introduit des distributions , qui peuvent être utilisées pour prendre la dérivée de n'importe quelle fonction.

Les limites ne sont pas la seule approche rigoureuse de la fondation du calcul. Une autre façon est d'utiliser Abraham Robinson de l' analyse non standard . L'approche de Robinson, développée dans les années 1960, utilise des machines techniques issues de la logique mathématique pour augmenter le système de nombres réels avec des nombres infinitésimaux et infinis , comme dans la conception originale de Newton-Leibniz. Les nombres résultants sont appelés nombres hyperréels , et ils peuvent être utilisés pour donner un développement de type Leibniz des règles habituelles de calcul. Il existe également une analyse infinitésimale lisse , qui diffère de l'analyse non standard en ce qu'elle oblige à négliger les infinitésimales de puissance supérieure lors des dérivations.

Importance

Alors que de nombreuses idées de calcul avaient été développées plus tôt en Grèce , en Chine , en Inde , en Irak, en Perse et au Japon , l'utilisation du calcul a commencé en Europe, au 17e siècle, lorsque Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz ont construit sur le travail de mathématiciens plus tôt pour présenter ses principes de base. Le développement du calcul a été construit sur des concepts antérieurs de mouvement instantané et de surface sous les courbes.

Les applications du calcul différentiel incluent les calculs impliquant la vitesse et l' accélération , la pente d'une courbe et l' optimisation . Les applications du calcul intégral comprennent les calculs impliquant la surface, le volume , la longueur de l'arc , le centre de gravité , le travail et la pression . Les applications plus avancées incluent les séries Power et Fourier .

Le calcul est également utilisé pour acquérir une compréhension plus précise de la nature de l'espace, du temps et du mouvement. Pendant des siècles, mathématiciens et philosophes ont été aux prises avec des paradoxes impliquant la division par zéro ou des sommes infiniment nombreuses. Ces questions se posent dans l'étude du mouvement et de l'aire. L' ancien philosophe grec Zénon d'Eléa a donné plusieurs exemples célèbres de tels paradoxes . Le calcul fournit des outils, en particulier la limite et la série infinie , qui résolvent les paradoxes.

Des principes

Limites et infinitésimales

Le calcul est généralement développé en travaillant avec de très petites quantités. Historiquement, la première méthode pour le faire était par des infinitésimaux . Ce sont des objets qui peuvent être traités comme des nombres réels mais qui sont, en un certain sens, "infiniment petits". Par exemple, un nombre infinitésimal peut être supérieur à 0, mais inférieur à tout nombre de la séquence 1, 1/2, 1/3, ... et donc inférieur à tout nombre réel positif . De ce point de vue, le calcul est un ensemble de techniques de manipulation des infinitésimaux. Les symboles et ont été considérés comme infinitésimaux, et le dérivé était simplement leur rapport.

L'approche infinitésimale est tombée en disgrâce au XIXe siècle car il était difficile de rendre précise la notion d'infinitésimal. Cependant, le concept a été relancé au XXe siècle avec l'introduction de l'analyse non standard et de l' analyse infinitésimale lisse , qui ont fourni des bases solides pour la manipulation des infinitésimaux.

À la fin du 19e siècle, les infinitésimaux ont été remplacés dans le milieu universitaire par l' approche epsilon, delta des limites . Les limites décrivent la valeur d'une fonction à une certaine entrée en termes de ses valeurs à des entrées proches. Ils capturent le comportement à petite échelle dans le contexte du système de nombres réels . Dans ce traitement, le calcul est un ensemble de techniques permettant de manipuler certaines limites. Les infinitésimales sont remplacées par de très petits nombres, et le comportement infiniment petit de la fonction est trouvé en prenant le comportement limite pour des nombres de plus en plus petits. On pensait que les limites fournissaient une base plus rigoureuse pour le calcul, et pour cette raison, elles sont devenues l'approche standard au cours du XXe siècle.

Calculs différentiels

Ligne tangente à ( x , f ( x )) . La dérivée f ′ ( x ) d'une courbe en un point est la pente (montée sur course) de la droite tangente à cette courbe en ce point.

Le calcul différentiel est l'étude de la définition, des propriétés et des applications de la dérivée d'une fonction. Le processus de recherche du dérivé est appelé différenciation . Étant donné une fonction et un point du domaine, la dérivée à ce point est un moyen de coder le comportement à petite échelle de la fonction près de ce point. En trouvant le dérivé d'une fonction à chaque point de son domaine, il est possible de produire une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée ou simplement dérivée de la fonction originale. En termes formels, la dérivée est un opérateur linéairequi prend une fonction comme entrée et produit une seconde fonction comme sortie. C'est plus abstrait que la plupart des processus étudiés en algèbre élémentaire, où les fonctions entrent généralement un nombre et en produisent un autre. Par exemple, si la fonction de doublement reçoit l'entrée trois, alors elle en produit six, et si la fonction de quadrillage reçoit l'entrée trois, elle en produit neuf. Le dérivé, cependant, peut prendre la fonction de quadrature comme entrée. Cela signifie que le dérivé prend toutes les informations de la fonction de quadrature - par exemple, deux sont envoyés à quatre, trois sont envoyés à neuf, quatre sont envoyés à seize, et ainsi de suite - et utilise ces informations pour produire une autre fonction. La fonction produite en dérivant la fonction de quadrature s'avère être la fonction de doublement.

En termes plus explicites, la "fonction de doublement" peut être désignée par g ( x ) = 2 x et la "fonction de quadrature" par f ( x ) = x 2 . Le «dérivé» prend maintenant la fonction f ( x ) , définie par l'expression « x 2 », comme entrée, c'est-à-dire toutes les informations - comme que deux sont envoyés à quatre, trois sont envoyés à neuf, quatre sont envoyés à seize, et ainsi de suite - et utilise cette information pour produire une autre fonction, la fonction g ( x ) = 2 x , comme cela se révélera.

Le symbole le plus courant pour un dérivé est une marque de type apostrophe appelée prime . Ainsi, la dérivée d'une fonction appelée f est notée f ' , prononcée "f prime". Par exemple, si f ( x ) = x 2 est la fonction de quadrature, alors f ′ ( x ) = 2 x est sa dérivée (la fonction de doublement g d'en haut). Cette notation est connue sous le nom de notation de Lagrange .

Si l'entrée de la fonction représente le temps, alors la dérivée représente le changement par rapport au temps. Par exemple, si f est une fonction qui prend un temps en entrée et donne la position d'une balle à ce moment en sortie, alors la dérivée de f est la façon dont la position change dans le temps, c'est-à-dire que c'est la vitesse du Balle.

Si une fonction est linéaire (c'est-à-dire si le graphique de la fonction est une ligne droite), alors la fonction peut être écrite comme y = mx + b , où x est la variable indépendante, y est la variable dépendante, b est la y -intercept, et:

Cela donne une valeur exacte pour la pente d'une ligne droite. Cependant, si le graphique de la fonction n'est pas une ligne droite, le changement de y divisé par le changement de x varie. Les dérivés donnent une signification exacte à la notion de changement de production par rapport à changement d'intrant. Pour être concret, soit f une fonction, et fixons un point a dans le domaine de f . ( a , f ( a )) est un point sur le graphique de la fonction. Si h est un nombre proche de zéro, alors a + h est un nombre proche de a . Par conséquent, (a + h , f ( a + h )) est proche de ( a , f ( a )) . La pente entre ces deux points est

Cette expression est appelée un quotient de différence . Une ligne passant par deux points sur une courbe est appelée une ligne sécante , donc m est la pente de la ligne sécante entre ( a , f ( a )) et ( a + h , f ( a + h )) . La ligne sécante n'est qu'une approximation du comportement de la fonction au point a car elle ne rend pas compte de ce qui se passe entre a et a + h . Il n'est pas possible de découvrir le comportement à unen mettant h à zéro car cela nécessiterait une division par zéro , ce qui n'est pas défini. La dérivée est définie en prenant la limite lorsque h tend vers zéro, ce qui signifie qu'elle considère le comportement de f pour toutes les petites valeurs de h et extrait une valeur cohérente pour le cas où h est égal à zéro:

Géométriquement, la dérivée est la pente de la ligne tangente au graphique de f en a . La ligne tangente est une limite des droites sécantes tout comme la dérivée est une limite des quotients de différence. Pour cette raison, la dérivée est parfois appelée pente de la fonction f .

Voici un exemple particulier, la dérivée de la fonction de quadrature à l'entrée 3. Soit f ( x ) = x 2 la fonction de quadrature.

La dérivée f ′ ( x ) d'une courbe en un point est la pente de la droite tangente à cette courbe en ce point. Cette pente est déterminée en considérant la valeur limite des pentes des droites sécantes. Ici, la fonction impliquée (dessinée en rouge) est f ( x ) = x 3 - x . La tangente (en vert) qui passe par le point (−3/2, −15/8) a une pente de 23/4. Notez que les échelles verticale et horizontale de cette image sont différentes.

La pente de la tangente à la fonction de quadrature au point (3, 9) est de 6, c'est-à-dire qu'elle monte six fois plus vite qu'elle va vers la droite. Le processus de limite qui vient d'être décrit peut être exécuté pour n'importe quel point dans le domaine de la fonction de quadrature. Cela définit la fonction dérivée de la fonction de quadrature ou simplement la dérivée de la fonction de quadrature pour faire court. Un calcul similaire à celui ci-dessus montre que la dérivée de la fonction de quadrature est la fonction de doublement.

Notation de Leibniz

Une notation courante, introduite par Leibniz, pour le dérivé dans l'exemple ci-dessus est

Dans une approche basée sur les limites, le symbole mourir/dxne doit pas être interprété comme le quotient de deux nombres mais comme un raccourci pour la limite calculée ci-dessus. Leibniz, cependant, avait l'intention de représenter le quotient de deux nombres infiniment petits, dy étant le changement infinitésimal petit de y causé par un changement infinitésimal petit dx appliqué à x . On peut aussi penser à/dxcomme un opérateur de différenciation, qui prend une fonction comme entrée et donne une autre fonction, la dérivée, comme sortie. Par exemple:

Dans cet usage, le dx dans le dénominateur est lu comme "par rapport à x ". Un autre exemple de notation correcte pourrait être:

Même lorsque le calcul est développé en utilisant des limites plutôt que des infinitésimales, il est courant de manipuler des symboles comme dx et dy comme s'il s'agissait de nombres réels; bien qu'il soit possible d'éviter de telles manipulations, elles sont parfois pratiques du point de vue de la notation pour exprimer des opérations telles que la dérivée totale .

Calcul intégral

Le calcul intégral est l'étude des définitions, des propriétés et des applications de deux concepts liés, l' intégrale indéfinie et l' intégrale définie . Le processus de recherche de la valeur d'une intégrale est appelé intégration . En langage technique, le calcul intégral étudie deux opérateurs linéaires liés .

L' intégrale indéfinie , également appelée primitive , est l'opération inverse de la dérivée. F est une intégrale indéfinie de f lorsque f est un dérivé de F . (Cette utilisation de lettres minuscules et majuscules pour une fonction et son intégrale indéfinie est courante dans le calcul.)

L' intégrale définie entre une fonction et produit un nombre, qui donne la somme algébrique des aires entre le graphique de l'entrée et l' axe des x . La définition technique de l'intégrale définie implique la limite d'une somme d'aires de rectangles, appelée somme de Riemann .

Un exemple motivant est les distances parcourues dans un temps donné.

Si la vitesse est constante, seule la multiplication est nécessaire, mais si la vitesse change, une méthode plus puissante pour trouver la distance est nécessaire. Une de ces méthodes consiste à approximer la distance parcourue en divisant le temps en de nombreux intervalles de temps courts, puis en multipliant le temps écoulé dans chaque intervalle par l'une des vitesses de cet intervalle, puis en prenant la somme (une somme de Riemann ) de la distance approximative parcourue dans chaque intervalle. L'idée de base est que si seulement un court laps de temps s'écoule, la vitesse restera plus ou moins la même. Cependant, une somme de Riemann ne donne qu'une approximation de la distance parcourue. Nous devons prendre la limite de toutes ces sommes de Riemann pour trouver la distance exacte parcourue.

Vitesse constante
L'intégration peut être considérée comme la mesure de l'aire sous une courbe, définie par f ( x ) , entre deux points (ici a et b ).

Lorsque la vitesse est constante, la distance totale parcourue sur l'intervalle de temps donné peut être calculée en multipliant la vitesse et le temps. Par exemple, parcourir une vitesse constante de 50 mph pendant 3 heures entraîne une distance totale de 150 miles. Dans le diagramme de gauche, lorsque la vitesse et le temps constants sont représentés graphiquement, ces deux valeurs forment un rectangle dont la hauteur est égale à la vitesse et la largeur égale au temps écoulé. Par conséquent, le produit de la vitesse et du temps calcule également la surface rectangulaire sous la courbe de vitesse (constante). Cette connexion entre la zone sous une courbe et la distance parcourue peut être étendue à toute région de forme irrégulière présentant une vitesse fluctuante sur une période de temps donnée. Si f ( x )dans le diagramme de droite représente la vitesse car elle varie dans le temps, la distance parcourue (entre les temps représentés par a et b ) est l'aire de la région ombrée  s .

Pour se rapprocher de cette zone, une méthode intuitive consisterait à diviser la distance entre a et b en un nombre de segments égaux, la longueur de chaque segment représentée par le symbole Δ x . Pour chaque petit segment, nous pouvons choisir une valeur de la fonction f ( x ) . Appelez cette valeur h . Ensuite, l'aire du rectangle de base Δ x et de hauteur h donne la distance (temps Δ x multiplié par la vitesse h ) parcourue dans ce segment. La valeur moyenne de la fonction au-dessus est associée à chaque segment, f ( x) = h . La somme de tous ces rectangles donne une approximation de la zone entre l'axe et la courbe, qui est une approximation de la distance totale parcourue. Une valeur plus petite pour Δ x donnera plus de rectangles et dans la plupart des cas une meilleure approximation, mais pour une réponse exacte, nous devons prendre une limite lorsque Δ x s'approche de zéro.

Le symbole de l'intégration est un S allongé (le S signifie «somme»). L'intégrale définie s'écrit:

et se lit "l'intégrale de a à b de f- de- x par rapport à x ". La notation Leibniz dx a pour but de suggérer de diviser la zone sous la courbe en un nombre infini de rectangles, de sorte que leur largeur Δ x devienne le dx infiniment petit . Dans une formulation du calcul basée sur des limites, la notation

doit être compris comme un opérateur qui prend une fonction comme entrée et donne un nombre, la zone, comme sortie. Le différentiel de terminaison, dx , n'est pas un nombre et n'est pas multiplié par f ( x ) , bien que, servant de rappel de la définition de limite Δ x , il puisse être traité comme tel dans les manipulations symboliques de l'intégrale. Formellement, le différentiel indique la variable sur laquelle la fonction est intégrée et sert de parenthèse de fermeture pour l'opérateur d'intégration.

L'intégrale indéfinie, ou primitive, s'écrit:

Les fonctions ne différant que par une constante ont la même dérivée, et on peut montrer que la primitive d'une fonction donnée est en fait une famille de fonctions ne différant que par une constante. Puisque la dérivée de la fonction y = x 2 + C , où C est une constante quelconque, est y ′ = 2 x , la primitive de cette dernière est donnée par:

La constante non spécifiée C présente dans l'intégrale indéfinie ou primitive est connue comme la constante d'intégration .

Théorème fondamental

Le théorème fondamental du calcul stipule que la différenciation et l'intégration sont des opérations inverses. Plus précisément, il relie les valeurs des primitifs à des intégrales définies. Puisqu'il est généralement plus facile de calculer une primitive que d'appliquer la définition d'une intégrale définie, le théorème fondamental du calcul fournit un moyen pratique de calculer des intégrales définies. Il peut également être interprété comme un énoncé précis du fait que la différenciation est l'inverse de l'intégration.

Le théorème fondamental du calcul énonce: Si une fonction f est continue sur l'intervalle [ a , b ] et si F est une fonction dont la dérivée est f sur l'intervalle ( a , b ) , alors

De plus, pour chaque x de l'intervalle ( a , b ) ,

Cette prise de conscience, faite à la fois par Newton et Leibniz , qui ont basé leurs résultats sur des travaux antérieurs d' Isaac Barrow , a été la clé de la prolifération des résultats analytiques après que leur travail soit devenu connu. Le théorème fondamental fournit une méthode algébrique de calcul de nombreuses intégrales définies - sans effectuer de processus limites - en trouvant des formules pour les primitifs . C'est aussi une solution prototype d'une équation différentielle . Les équations différentielles relient une fonction inconnue à ses dérivés et sont omniprésentes dans les sciences.

Applications

La spirale logarithmique de la coquille Nautilus est une image classique utilisée pour décrire la croissance et le changement liés au calcul.

Le calcul est utilisé dans toutes les branches des sciences physiques, de l' actuariat , de l' informatique , des statistiques , de l' ingénierie , de l' économie , des affaires , de la médecine , de la démographie et dans d'autres domaines partout où un problème peut être modélisé mathématiquement et qu'une solution optimale est souhaitée. Cela permet de passer de taux de changement (non constants) au changement total ou vice versa, et plusieurs fois, en étudiant un problème, nous connaissons l'un et essayons de trouver l'autre.

La physique fait un usage particulier du calcul; tous les concepts de la mécanique classique et de l' électromagnétisme sont liés par le calcul. La masse d'un objet de densité connue , le moment d'inertie des objets, ainsi que l'énergie totale d'un objet dans un champ conservateur peuvent être trouvés par l'utilisation du calcul. Un exemple de l'utilisation du calcul en mécanique est la deuxième loi du mouvement de Newton : historiquement déclarée, elle utilise expressément le terme «changement de mouvement» qui implique le dicton dérivé Le changement d'élan d'un corps est égal à la force résultante agissant sur le corps et va dans le même sens.Communément exprimée aujourd'hui comme Force = Masse × accélération, elle implique un calcul différentiel car l'accélération est la dérivée temporelle de la vitesse ou la seconde dérivée temporelle de la trajectoire ou de la position spatiale. Partant de savoir comment un objet accélère, nous utilisons le calcul pour dériver son chemin.

La théorie de Maxwell de l' électromagnétisme et Einstein théorie » de la relativité générale sont également exprimés dans la langue du calcul différentiel. La chimie utilise également le calcul pour déterminer les vitesses de réaction et la désintégration radioactive. En biologie, la dynamique des populations commence par les taux de reproduction et de mortalité pour modéliser les changements de population.

Le calcul peut être utilisé en conjonction avec d'autres disciplines mathématiques. Par exemple, il peut être utilisé avec une algèbre linéaire pour trouver l'approximation linéaire "best fit" pour un ensemble de points dans un domaine. Ou il peut être utilisé dans la théorie des probabilités pour déterminer la probabilité d'une variable aléatoire continue à partir d'une fonction de densité supposée. En géométrie analytique , l'étude des graphes de fonctions, le calcul est utilisé pour trouver les points hauts et les points bas (maxima et minima), la pente, la concavité et les points d'inflexion .

Le théorème de Green , qui donne la relation entre une intégrale de ligne autour d'une simple courbe fermée C et une double intégrale sur la région plane D délimitée par C, est appliqué dans un instrument appelé planimètre , qui est utilisé pour calculer l'aire d'un plat surface sur un dessin. Par exemple, il peut être utilisé pour calculer la superficie occupée par un parterre de fleurs ou une piscine de forme irrégulière lors de la conception de l'aménagement d'une propriété.

Le théorème de Green discret , qui donne la relation entre une double intégrale d'une fonction autour d'une simple courbe rectangulaire fermée C et une combinaison linéaire des valeurs de la primitive aux points d'angle le long du bord de la courbe, permet un calcul rapide des sommes de valeurs dans les domaines rectangulaires . Par exemple, il peut être utilisé pour calculer efficacement des sommes de domaines rectangulaires dans des images, afin d'extraire rapidement des caractéristiques et de détecter des objets; un autre algorithme qui pourrait être utilisé est la table des aires additionnées .

Dans le domaine de la médecine, le calcul peut être utilisé pour trouver l'angle de ramification optimal d'un vaisseau sanguin afin de maximiser le débit. À partir des lois de désintégration pour l'élimination d'un médicament particulier du corps, il est utilisé pour dériver des lois de dosage. En médecine nucléaire, il est utilisé pour construire des modèles de transport de rayonnement dans des thérapies tumorales ciblées.

En économie, le calcul permet de déterminer le profit maximal en fournissant un moyen de calculer facilement à la fois le coût marginal et le revenu marginal .

Le calcul est également utilisé pour trouver des solutions approximatives aux équations; en pratique, c'est le moyen standard de résoudre des équations différentielles et de rechercher des racines dans la plupart des applications. Des exemples sont des méthodes telles que la méthode de Newton , l' itération en virgule fixe et l'approximation linéaire . Par exemple, les engins spatiaux utilisent une variante de la méthode Euler pour approcher les trajectoires courbes dans des environnements à gravité zéro.

Variétés

Au fil des ans, de nombreuses reformulations du calcul ont été étudiées à des fins différentes.

Calcul non standard

Les calculs imprécis avec des infinitésimales ont été largement remplacés par la définition rigoureuse (ε, δ) de la limite à partir des années 1870. Pendant ce temps, les calculs avec des infinitésimales persistaient et conduisaient souvent à des résultats corrects. Cela a conduit Abraham Robinson à rechercher s'il était possible de développer un système de nombres avec des quantités infinitésimales sur lesquelles les théorèmes de calcul étaient encore valides. En 1960, s'appuyant sur les travaux d' Edwin Hewitt et de Jerzy Łoś , il réussit à développer une analyse non standard . La théorie de l'analyse non standard est suffisamment riche pour être appliquée dans de nombreuses branches des mathématiques. En tant que tels, les livres et articles consacrés uniquement aux théorèmes traditionnels du calcul portent souvent le titrecalcul non standard .

Analyse infinitésimale fluide

C'est une autre reformulation du calcul en termes d' infinitésimales . Basé sur les idées de FW Lawvere et employant les méthodes de la théorie des catégories , il considère toutes les fonctions comme étant continues et incapables de s'exprimer en termes d' entités discrètes . Un aspect de cette formulation est que la loi du milieu exclu ne tient pas dans cette formulation.

Analyse constructive

Les mathématiques constructives sont une branche des mathématiques qui insiste sur le fait que les preuves de l'existence d'un nombre, d'une fonction ou d'un autre objet mathématique devraient donner une construction de l'objet. En tant que telles, les mathématiques constructives rejettent également la loi du milieu exclu . Les reformulations du calcul dans un cadre constructif font généralement partie du sujet de l' analyse constructive .

Voir également

Listes

  • Glossaire du calcul
  • Liste des sujets de calcul
  • Liste des dérivées et intégrales dans les calculs alternatifs
  • Liste des identités de différenciation
  • Publications en calcul
  • Tableau des intégrales

Autres sujets connexes

  • Calcul des différences finies
  • Calcul avec polynômes
  • Analyse complexe
  • Équation différentielle
  • Géométrie différentielle
  • Calcul élémentaire: une approche infinitésimale
  • Calcul discret
  • Série Fourier
  • Equation intégrale
  • Analyse mathematique
  • Calcul à variables multiples
  • Analyse non classique
  • Analyse non standard
  • Calcul non standard
  • Precalculus ( enseignement mathématique )
  • Intégrale du produit
  • Calcul stochastique
  • Série Taylor

Les références

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Lectures complémentaires

Livres

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  • Edmund Landau . ISBN 0-8218-2830-4 Calcul différentiel et intégral , American Mathematical Society . 
  • Robert A. Adams. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 Calcul: un cours complet . 
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Livres en ligne

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  • Smith, William V. (2001). " Le Calcul ". Récupéré le 4 juillet 2008 [1] (HTML uniquement).

Liens externes

  • «Calcul» , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. «Calcul» . MathWorld .
  • Sujets sur le calcul à PlanetMath .
  • Calculus Made Easy (1914) par Silvanus P. Thompson Texte intégral en PDF
  • Calcul sur In Our Time à la BBC
  • Calculus.org: La page Calculus à l'Université de Californie, Davis - contient des ressources et des liens vers d'autres sites
  • COW: Calculus on the Web à Temple University - contient des ressources allant du pré-calcul et de l'algèbre associée
  • Premières utilisations connues de certains des mots de mathématiques: calcul et analyse
  • Intégrateur en ligne (WebMathematica) de Wolfram Research
  • Le rôle du calcul dans les mathématiques collégiales de ERICDigests.org
  • OpenCourseWare Calculus du Massachusetts Institute of Technology
  • Calcul infinitésimal  - un article sur son développement historique, dans Encyclopedia of Mathematics , éd. Michiel Hazewinkel .
  • Daniel Kleitman, MIT. "Calcul pour les débutants et les artistes" .
  • Problèmes de calcul et solutions par DA Kouba
  • Notes de Donald Allen sur le calcul
  • Matériel de formation en calcul sur imomath.com
  • (en anglais et en arabe) The Excursion of Calculus , 1772