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Mathématicien grec Euclide (tenant des étriers ), 3e siècle avant JC, comme l'imaginait Raphael dans ce détail de l'École d'Athènes (1509-1511) [a]

Les mathématiques (du grec : μάθημα , máthēma , 'connaissance, étude, apprentissage') comprennent l'étude de sujets tels que la quantité ( théorie des nombres ), [1] structure ( algèbre ), [2] espace ( géométrie ), [1] et changement ( analyse ). [3] [4] [5] Il n'a pas de définition généralement acceptée . [6] [7]

Les mathématiciens recherchent et utilisent des modèles [8] [9] pour formuler de nouvelles conjectures ; ils résolvent la vérité ou la fausseté de tels par des preuves mathématiques . Lorsque les structures mathématiques sont de bons modèles de phénomènes réels, le raisonnement mathématique peut être utilisé pour fournir un aperçu ou des prédictions sur la nature. Grâce à l'utilisation de l' abstraction et de la logique , les mathématiques se sont développées à partir du comptage , du calcul , de la mesure et de l'étude systématique des formes et des mouvements d' objets physiques. Les mathématiques pratiques ont été une activité humaine d'aussi loin que les documents écrits existent. La recherche nécessaire pour résoudre des problèmes mathématiques peut prendre des années voire des siècles de recherche soutenue.

Des arguments rigoureux sont apparus pour la première fois dans les mathématiques grecques , notamment dans les éléments d' Euclid . [10] Depuis le travail pionnier de Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) et d'autres sur les systèmes axiomatiques à la fin du 19e siècle , il est devenu habituel de voir la recherche mathématique comme établissant la vérité par une déduction rigoureuse de axiomes et définitions convenablement choisis . Les mathématiques se sont développées à un rythme relativement lent jusqu'à la Renaissance , lorsque les innovations mathématiques interagissaient avec de nouvelles les découvertes scientifiques ont conduit à une augmentation rapide du taux de découverte mathématique qui s'est poursuivie jusqu'à nos jours. [11]

Les mathématiques sont essentielles dans de nombreux domaines, notamment les sciences naturelles , l' ingénierie , la médecine , la finance et les sciences sociales . Les mathématiques appliquées ont conduit à des disciplines mathématiques entièrement nouvelles, telles que les statistiques et la théorie des jeux . Les mathématiciens s'engagent dans les mathématiques pures (les mathématiques pour elles-mêmes) sans avoir aucune application à l'esprit, mais les applications pratiques de ce qui a commencé comme des mathématiques pures sont souvent découvertes plus tard. [12] [13]

Histoire

L'histoire des mathématiques peut être vue comme une série d' abstractions de plus en plus importante . La première abstraction, qui est partagée par de nombreux animaux, [14] était probablement celle des nombres: la prise de conscience qu'une collection de deux pommes et une collection de deux oranges (par exemple) ont quelque chose en commun, à savoir la quantité de leurs membres.

Comme en témoignent les décomptes trouvés sur les os, en plus de reconnaître comment compter les objets physiques, les peuples préhistoriques peuvent également avoir reconnu comment compter des quantités abstraites, comme le temps - jours, saisons ou années. [15] [16]

La tablette mathématique babylonienne Plimpton 322, datée de 1800 av.

Les preuves de mathématiques plus complexes n'apparaissent que vers 3000  avant JC , lorsque les Babyloniens et les Égyptiens ont commencé à utiliser l' arithmétique , l' algèbre et la géométrie pour la fiscalité et d'autres calculs financiers, pour le bâtiment et la construction, et pour l' astronomie . [17] Les textes mathématiques les plus anciens de la Mésopotamie et de l' Egypte sont de 2000 à 1800 avant JC. [18] De nombreux textes anciens mentionnent des triplets de Pythagore et donc, par inférence, le théorème de Pythagoresemble être le développement mathématique le plus ancien et le plus répandu après l'arithmétique et la géométrie de base. [19] C'est dans les mathématiques babyloniennes que l'arithmétique élémentaire ( addition , soustraction , multiplication et division ) apparaît pour la première fois dans les archives archéologiques. Les Babyloniens possédaient également un système de valeur de position et utilisaient un système numérique sexagésimal [19] qui est encore utilisé aujourd'hui pour mesurer les angles et le temps. [20]

Archimède a utilisé la méthode de l'épuisement pour estimer la valeur de pi .

À partir du 6ème siècle avant JC avec les Pythagoriciens , avec les mathématiques grecques, les Grecs de l' Antiquité ont commencé une étude systématique des mathématiques en tant que matière à part entière. [21] Autour de 300 avant JC, Euclide a introduit la méthode axiomatique encore utilisée en mathématiques aujourd'hui, consistant en la définition, l'axiome, le théorème et la preuve. Son livre, Elements , est largement considéré comme le manuel le plus réussi et le plus influent de tous les temps. [22] Le plus grand mathématicien de l'antiquité est souvent considéré comme Archimède (c. 287–212 avant JC) de Syracuse . [23]Il a développé des formules pour calculer la surface et le volume des solides de révolution et a utilisé la méthode de l'épuisement pour calculer l' aire sous l'arc d'une parabole avec la sommation d'une série infinie , d'une manière pas trop différente du calcul moderne. [24] D'autres réalisations notables des mathématiques grecques sont les sections coniques ( Apollonius de Perga , 3ème siècle avant JC), [25] la trigonométrie ( Hipparque de Nicée , 2ème siècle avant JC), [26] et les débuts de l'algèbre ( Diophantus , 3ème siècle après JC) ). [27]

Les chiffres utilisés dans le manuscrit de Bakhshali , daté entre le IIe siècle avant JC et le IIe siècle après JC.

Le système numérique hindou-arabe et les règles d'utilisation de ses opérations, en usage dans le monde aujourd'hui, ont évolué au cours du premier millénaire après JC en Inde et ont été transmis au monde occidental via les mathématiques islamiques . [28] D'autres développements notables des mathématiques indiennes incluent la définition moderne et l'approximation du sinus et du cosinus , [28] et une forme précoce de série infinie .

Une page de l' algèbre d'al-Khwārizmī

Pendant l' âge d'or de l'islam , en particulier aux IXe et Xe siècles, les mathématiques ont vu de nombreuses innovations importantes s'appuyant sur les mathématiques grecques. La réalisation la plus notable des mathématiques islamiques a été le développement de l' algèbre . D'autres réalisations de la période islamique comprennent les progrès de la trigonométrie sphérique et l'ajout de la virgule décimale au système numérique arabe. [29] [30] Beaucoup de mathématiciens notables de cette période étaient persans, tels qu'Al-Khwarismi , Omar Khayyam et Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Au début de la période moderne , les mathématiques ont commencé à se développer à un rythme accéléré en Europe occidentale . Le développement du calcul par Newton et Leibniz au 17ème siècle a révolutionné les mathématiques. [31] Leonhard Euler était le mathématicien le plus notable du 18ème siècle, contribuant de nombreux théorèmes et découvertes. [32] Peut-être le mathématicien le plus éminent du 19ème siècle était le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss , [33] qui a fait de nombreuses contributions à des domaines tels que l' algèbre , l' analyse , la géométrie différentielle , la théorie matricielle ,théorie des nombres et statistiques . Au début du 20e siècle, Kurt Gödel a transformé les mathématiques en publiant ses théorèmes d'incomplétude , qui montrent en partie que tout système axiomatique cohérent - s'il est suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique - contiendra de vraies propositions qui ne peuvent être prouvées. [34]

Les mathématiques ont depuis été considérablement développées et il y a eu une interaction fructueuse entre les mathématiques et la science, au profit des deux. Des découvertes mathématiques continuent à être faites aujourd'hui. Selon Mikhail B. Sevryuk, dans le numéro de janvier 2006 du Bulletin of the American Mathematical Society , "Le nombre d'articles et de livres inclus dans la base de données Mathematical Reviews depuis 1940 (la première année de fonctionnement de MR) est maintenant de plus de 1,9 millions, et plus de 75 000 éléments sont ajoutés à la base de données chaque année. L'écrasante majorité des travaux dans cet océan contiennent de nouveaux théorèmes mathématiques et leurs preuves . " [35]

Étymologie

Le mot mathématiques vient du grec ancien máthēma ( μάθημα ), signifiant «ce qui s'apprend» [36] «ce que l'on apprend à connaître», d'où aussi «étude» et «science». Le mot pour «mathématiques» est venu pour avoir le sens plus étroit et plus technique «étude mathématique» même à l'époque classique. [37] Son adjectif est mathēmatikós ( μαθηματικός ), signifiant «lié à l'apprentissage» ou «studieux», qui est également venu à signifier «mathématique». En particulier, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; latin :ars mathématique) signifiait «l'art mathématique».

De même, l'une des deux principales écoles de pensée du pythagorisme était connue sous le nom de mathēmatikoi (μαθηματικοί) - qui à l'époque signifiait «apprenants» plutôt que «mathématiciens» au sens moderne. [38]

En latin, et en anglais jusque vers 1700, le terme mathématiques signifiait plus communément " astrologie " (ou parfois " astronomie ") plutôt que "mathématiques"; le sens a progressivement changé pour devenir son actuel d'environ 1500 à 1800. Cela a abouti à plusieurs erreurs de traduction. Par exemple, l' avertissement de saint Augustin selon lequel les chrétiens devraient se méfier des mathématiciens , c'est-à-dire des astrologues, est parfois mal traduit comme une condamnation des mathématiciens. [39]

La forme plurielle apparente en anglais, comme la forme plurielle française les mathématiques (et le dérivé singulier moins couramment utilisé la mathématique ), remonte au pluriel latin neutre mathématique ( Cicero ), basé sur le pluriel grec ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), utilisé par Aristote (384–322 avant JC), et signifiant à peu près «tout ce qui est mathématique», bien qu'il soit plausible que l'anglais n'ait emprunté que l'adjectif mathématique (al) et ait de nouveau formé le nom mathématique , d'après le modèle de la physique et de la métaphysique, hérités du grec. [40] En anglais, le nom mathématique prend un verbe singulier. Il est souvent abrégé en mathématiques ou, en Amérique du Nord, en mathématiques . [41]

Définitions des mathématiques

Leonardo Fibonacci , le mathématicien italien qui a introduit le système numérique hindou-arabe inventé entre le 1er et le 4ème siècle par des mathématiciens indiens, dans le monde occidental.

Les mathématiques n'ont pas de définition généralement acceptée. [6] [7] Aristote a défini les mathématiques comme "la science de la quantité" et cette définition a prévalu jusqu'au 18ème siècle. Cependant, Aristote a également noté qu'une focalisation sur la quantité seule peut ne pas distinguer les mathématiques des sciences comme la physique; selon lui, l'abstraction et l'étude de la quantité en tant que propriété «séparable dans la pensée» des instances réelles distinguent les mathématiques. [42]

Au XIXe siècle, lorsque l'étude des mathématiques s'est intensifiée et a commencé à aborder des sujets abstraits tels que la théorie des groupes et la géométrie projective , qui n'ont pas de relation claire avec la quantité et la mesure, les mathématiciens et les philosophes ont commencé à proposer une variété de nouvelles définitions. . [43]

Un grand nombre de mathématiciens professionnels ne s'intéressent pas à une définition des mathématiques ou la considèrent indéfinissable. [6] Il n'y a même pas de consensus sur la question de savoir si les mathématiques sont un art ou une science. [7] Certains disent simplement: «Les mathématiques sont ce que font les mathématiciens». [6]

Trois types principaux

Aujourd'hui, trois principaux types de définition des mathématiques sont appelés logicistes , intuitionnistes et formalistes , chacun reflétant une école philosophique différente de la pensée. [44] Tous ont de graves défauts, aucun n'est largement accepté et aucune réconciliation ne semble possible. [44]

Définitions des logiciens

Une première définition des mathématiques en termes de logique était celle de Benjamin Peirce (1870): «la science qui tire les conclusions nécessaires». [45] Dans les Principia Mathematica , Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont avancé le programme philosophique connu sous le nom de logicisme et ont tenté de prouver que tous les concepts, déclarations et principes mathématiques peuvent être définis et prouvés entièrement en termes de logique symbolique . Une définition logiciste des mathématiques est celle de Russell (1903) «Toutes les mathématiques sont une logique symbolique». [46]

Définitions intuitionnistes

Les définitions intuitionnistes , issues de la philosophie du mathématicien LEJ Brouwer , identifient les mathématiques avec certains phénomènes mentaux. Un exemple de définition intuitionniste est «Les mathématiques sont l'activité mentale qui consiste à exécuter des constructions les unes après les autres». [44] Une particularité de l'intuitionnisme est qu'il rejette certaines idées mathématiques considérées comme valides selon d'autres définitions. En particulier, alors que d'autres philosophies des mathématiques permettent à des objets dont on peut prouver l'existence même s'ils ne peuvent pas être construits, l'intuitionnisme n'autorise que des objets mathématiques que l'on peut réellement construire. Les intuitionnistes rejettent également la loi du milieu exclu (c.-à-d.). Bien que cette position les force à rejeter une version commune de la preuve par contradiction comme méthode de preuve viable, à savoir l'inférence de from , ils sont toujours en mesure de déduire de . Pour eux, est une déclaration strictement plus faible que . [47]

Définitions formalistes

Les définitions formalistes identifient les mathématiques avec leurs symboles et les règles pour les utiliser. Haskell Curry a défini les mathématiques simplement comme «la science des systèmes formels». [48] Un système formel est un ensemble de symboles, ou jetons , et quelques règles sur la façon dont les jetons doivent être combinés en formules . Dans les systèmes formels, le mot axiome a une signification spéciale différente de la signification ordinaire de «une vérité évidente», et est utilisé pour désigner une combinaison de jetons qui est incluse dans un système formel donné sans avoir besoin d'être dérivée en utilisant le règles du système.

Les mathématiques comme science

Carl Friedrich Gauss , connu comme le prince des mathématiciens

Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss a qualifié les mathématiques de «reine des sciences». [49] Plus récemment, Marcus du Sautoy a appelé les mathématiques "la reine de la science ... la principale force motrice derrière la découverte scientifique". [50] Le philosophe Karl Popper a observé que «la plupart des théories mathématiques sont, comme celles de la physique et de la biologie , hypothético - déductives : les mathématiques pures se révèlent donc beaucoup plus proches des sciences naturelles dont les hypothèses sont des conjectures, qu'il ne le paraissait encore récemment. " [51]Popper a également noté que «je n'admettrai certainement un système comme empirique ou scientifique que s'il est capable d'être testé par l'expérience». [52]

Plusieurs auteurs considèrent que les mathématiques ne sont pas une science car elles ne reposent pas sur des preuves empiriques . [53] [54] [55] [56]

Les mathématiques partagent beaucoup de points communs avec de nombreux domaines des sciences physiques, notamment l' exploration des conséquences logiques des hypothèses. L'intuition et l'expérimentation jouent également un rôle dans la formulation de conjectures à la fois en mathématiques et dans les (autres) sciences. Les mathématiques expérimentales continuent de gagner en importance au sein des mathématiques, et le calcul et la simulation jouent un rôle de plus en plus important en sciences et en mathématiques.

Les opinions des mathématiciens à ce sujet sont variées. De nombreux mathématiciens [57] estiment qu'appeler leur domaine une science revient à minimiser l'importance de son côté esthétique et de son histoire dans les sept arts libéraux traditionnels ; pour d’autres, ignorer son lien avec les sciences revient à fermer les yeux sur le fait que l’interface entre les mathématiques et leurs applications en sciences et en ingénierie a conduit à un développement important des mathématiques. [58] Une des façons dont cette différence de point de vue se joue est dans le débat philosophique sur la question de savoir si les mathématiques sont créées (comme dans l'art) ou découvertes(comme en science). Dans la pratique, les mathématiciens sont généralement regroupés avec des scientifiques au niveau brut, mais séparés à des niveaux plus fins. C'est l'une des nombreuses questions prises en compte dans la philosophie des mathématiques . [59]

Inspiration, mathématiques pures et appliquées et esthétique

Isaac Newton (à gauche) et Gottfried Wilhelm Leibniz ont développé un calcul infinitésimal.

Les mathématiques découlent de nombreux types de problèmes. Au début, ceux-ci ont été trouvés dans le commerce, la mesure des terres , l'architecture et plus tard l' astronomie ; aujourd'hui, toutes les sciences suggèrent des problèmes étudiés par des mathématiciens, et de nombreux problèmes se posent au sein même des mathématiques. Par exemple, le physicien Richard Feynman a inventé la formulation intégrale de chemin de la mécanique quantique en utilisant une combinaison de raisonnement mathématique et de perspicacité physique, et la théorie des cordes d'aujourd'hui , une théorie scientifique encore en développement qui tente d'unifier les quatre forces fondamentales de la nature , continue d'inspirer nouvelles mathématiques. [60]

Certaines mathématiques ne sont pertinentes que dans le domaine qui les a inspirées et sont appliquées pour résoudre d'autres problèmes dans ce domaine. Mais souvent, les mathématiques inspirées d'un domaine se révèlent utiles dans de nombreux domaines et rejoignent le stock général de concepts mathématiques. Une distinction est souvent faite entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées . Cependant, les sujets de mathématiques pures s'avèrent souvent avoir des applications, par exemple la théorie des nombres en cryptographie .

Ce fait remarquable, que même les mathématiques les plus «pures» s'avèrent souvent avoir des applications pratiques, est ce que le physicien Eugène Wigner a appelé « l'efficacité déraisonnable des mathématiques ». [13] Le philosophe des mathématiques Mark Steiner a beaucoup écrit sur cette question et reconnaît que l'applicabilité des mathématiques constitue «un défi au naturalisme». [61] Pour la philosophe des mathématiques Mary Leng , le fait que le monde physique agit conformément aux préceptes d'entités mathématiques non causales existant au-delà de l'univers est "une heureuse coïncidence". [62] Par contre, pour certains anti-réalistes, les connexions, qui sont acquises parmi les choses mathématiques, reflètent simplement les connexions acquises entre les objets de l'univers, de sorte qu'il n'y ait pas de «coïncidence heureuse». [62]

Comme dans la plupart des domaines d'études, l'explosion des connaissances à l'ère scientifique a conduit à la spécialisation: il existe désormais des centaines de domaines spécialisés en mathématiques et la dernière classification des matières mathématiques compte 46 pages. [63] Plusieurs domaines des mathématiques appliquées ont fusionné avec des traditions apparentées en dehors des mathématiques et sont devenus des disciplines à part entière, y compris les statistiques, la recherche opérationnelle et l' informatique .

Pour ceux qui sont enclins aux mathématiques, il y a souvent un aspect esthétique défini dans une grande partie des mathématiques. De nombreux mathématiciens parlent de l' élégance des mathématiques, de leur esthétique intrinsèque et de leur beauté intérieure. La simplicité et la généralité sont appréciées. Il y a de la beauté dans une preuve simple et élégante , comme la preuve d' Euclide selon laquelle il existe une infinité de nombres premiers , et dans une méthode numérique élégante qui accélère le calcul, comme la transformée de Fourier rapide . GH Hardy dans les excuses d'un mathématiciena exprimé la conviction que ces considérations esthétiques sont, en elles-mêmes, suffisantes pour justifier l'étude des mathématiques pures. Il a identifié des critères tels que la signification, l'imprévu, l'inévitabilité et l'économie comme des facteurs qui contribuent à une esthétique mathématique. [64] La recherche mathématique cherche souvent les caractéristiques critiques d'un objet mathématique. Un théorème exprimé comme une caractérisation de l'objet par ces caractéristiques est le prix. Des exemples d'arguments mathématiques particulièrement succincts et révélateurs ont été publiés dans Proofs from THE BOOK .

La popularité des mathématiques récréatives est un autre signe du plaisir que beaucoup trouvent à résoudre des questions mathématiques. Et à l'autre extrême social, les philosophes continuent de trouver des problèmes en philosophie des mathématiques , comme la nature de la preuve mathématique . [65]

Notation, langage et rigueur

Leonhard Euler a créé et popularisé une grande partie de la notation mathématique utilisée aujourd'hui.

La plupart des notations mathématiques utilisées aujourd'hui n'ont été inventées qu'au XVIe siècle. [66] Avant cela, les mathématiques étaient écrites en mots, limitant la découverte mathématique. [67] Euler (1707–1783) était responsable de plusieurs des notations en usage aujourd'hui. La notation moderne rend les mathématiques beaucoup plus faciles pour le professionnel, mais les débutants la trouvent souvent décourageante. Selon Barbara Oakley , cela peut être attribué au fait que les idées mathématiques sont à la fois plus abstraites et plus chiffrées que celles du langage naturel. [68] Contrairement au langage naturel, où les gens peuvent souvent assimiler un mot (comme vache) avec l'objet physique auquel il correspond, les symboles mathématiques sont abstraits, dépourvus de tout analogue physique. [69] Les symboles mathématiques sont également plus fortement cryptés que les mots réguliers, ce qui signifie qu'un seul symbole peut coder un certain nombre d'opérations ou d'idées différentes. [70]

Le langage mathématique peut être difficile à comprendre pour les débutants car même les termes courants, tels que ou et seulement , ont une signification plus précise que dans le langage courant, et d'autres termes tels que ouvert et champ font référence à des idées mathématiques spécifiques, non couvertes par leur les significations des profanes. Le langage mathématique comprend également de nombreux termes techniques tels que homéomorphisme et intégrable qui n'ont aucune signification en dehors des mathématiques. De plus, des expressions abrégées telles que iff pour " si et seulement si " appartiennent au jargon mathématique. Il y a une raison à la notation spéciale et au vocabulaire technique: les mathématiques exigent plus de précision que la parole de tous les jours. Les mathématiciens appellent cette précision du langage et de la logique «rigueur».

La preuve mathématique est fondamentalement une question de rigueur . Les mathématiciens veulent que leurs théorèmes découlent d'axiomes au moyen d'un raisonnement systématique. Ceci afin d'éviter des « théorèmes » erronés , basés sur des intuitions faillibles, dont de nombreux exemples se sont produits dans l'histoire du sujet. [b] Le niveau de rigueur attendu en mathématiques a varié avec le temps: les Grecs attendaient des arguments détaillés, mais à l'époque d' Isaac Newtonles méthodes employées étaient moins rigoureuses. Les problèmes inhérents aux définitions utilisées par Newton conduiraient à une résurgence de l'analyse minutieuse et de la preuve formelle au 19e siècle. La méconnaissance de la rigueur est à l'origine de certaines des idées fausses courantes sur les mathématiques. Aujourd'hui, les mathématiciens continuent à se disputer entre eux au sujet des preuves assistées par ordinateur . Etant donné que les gros calculs sont difficiles à vérifier, de telles preuves peuvent être erronées si le programme informatique utilisé est erroné. [c] [71] D'autre part, les assistants de preuve permettent de vérifier tous les détails qui ne peuvent pas être donnés dans une preuve manuscrite, et fournissent la certitude de l'exactitude de longues preuves telles que celle du théorème de Feit-Thompson . [ré]

Les axiomes de la pensée traditionnelle étaient des «vérités évidentes», mais cette conception est problématique. [72] Au niveau formel, un axiome est juste une chaîne de symboles, qui n'a une signification intrinsèque que dans le contexte de toutes les formules dérivables d'un système axiomatique . Le programme de Hilbert avait pour but de mettre toutes les mathématiques sur une base axiomatique ferme, mais selon le théorème d'incomplétude de Gödel, tout système axiomatique (suffisamment puissant) a des formules indécidables ; et donc une axiomatisation finale des mathématiques est impossible. Néanmoins, les mathématiques sont souvent imaginées comme n'étant (dans la mesure de leur contenu formel) que de la théorie des ensemblesdans une certaine axiomatisation, en ce sens que chaque énoncé ou preuve mathématique pourrait être transformé en formules au sein de la théorie des ensembles. [73]

Domaines de mathématiques

L' abaque est un outil de calcul simple utilisé depuis l'Antiquité.

Les mathématiques peuvent, en gros, être subdivisées en l'étude de la quantité, de la structure, de l'espace et du changement (c'est-à-dire l' arithmétique , l' algèbre , la géométrie et l' analyse ). En plus de ces principales préoccupations, il existe également des subdivisions dédiées à l'exploration des liens du cœur des mathématiques vers d'autres domaines: à la logique , à la théorie des ensembles ( fondements ), aux mathématiques empiriques des différentes sciences ( mathématiques appliquées ), et plus récemment à l'étude rigoureuse de l' incertitude . Bien que certains domaines puissent sembler sans rapport, le programme Langlandsa trouvé des connexions entre des domaines auparavant considérés comme non liés, tels que les groupes de Galois , les surfaces de Riemann et la théorie des nombres .

Les mathématiques discrètes regroupent classiquement les domaines des mathématiques qui étudient les structures mathématiques fondamentalement discrètes plutôt que continues.

Fondations et philosophie

Afin de clarifier les fondements des mathématiques , les domaines de la logique mathématique et de la théorie des ensembles ont été développés. La logique mathématique comprend l'étude mathématique de la logique et les applications de la logique formelle à d'autres domaines des mathématiques; la théorie des ensembles est la branche des mathématiques qui étudie des ensembles ou des collections d'objets. L'expression «crise des fondations» décrit la recherche d'une fondation rigoureuse pour les mathématiques qui a eu lieu entre 1900 et 1930 environ [74]. Un certain désaccord sur les fondements des mathématiques se poursuit jusqu'à nos jours. La crise des fondations a été stimulée par un certain nombre de controverses à l'époque, dont lacontroverse sur la théorie des ensembles de Cantor et la controverse Brouwer-Hilbert .

La logique mathématique consiste à placer les mathématiques dans un cadre axiomatique rigoureux et à étudier les implications d'un tel cadre. En tant que tel, il abrite les théorèmes d'incomplétude de Gödel qui impliquent (de manière informelle) que tout système formel efficace qui contient l'arithmétique de base, si son (ce qui signifie que tous les théorèmes qui peuvent être prouvés sont vrais), est nécessairement incomplet (ce qui signifie qu'il existe de vrais théorèmes qui ne peut être prouvé dans ce système). Quelle que soit la collection finie d'axiomes théoriques des nombres prise comme fondement, Gödel a montré comment construire un énoncé formel qui est un vrai fait théorique des nombres, mais qui ne découle pas de ces axiomes. Par conséquent, aucun système formel n'est une axiomatisation complète de la théorie des nombres complets. La logique moderne est divisée en théorie de la récursivité , la théorie des modèles et théorie de la preuve , et est étroitement liée à la science informatique théorique , [75] , ainsi que de la théorie des catégories . Dans le contexte de la théorie de la récursivité, l'impossibilité d'une axiomatisation complète de la théorie des nombres peut également être formellement démontrée comme une conséquence du théorème MRDP .

La science informatique théorique comprend la théorie de la calculabilité , la théorie de la complexité de calcul et théorie de l' information . La théorie de la calculabilité examine les limites de divers modèles théoriques de l'ordinateur, y compris le modèle le plus connu, la machine de Turing . La théorie de la complexité est l'étude de la traitabilité par ordinateur; certains problèmes, bien que théoriquement résolubles par ordinateur, sont si coûteux en temps ou en espace que leur résolution restera vraisemblablement irréalisable, même avec les progrès rapides du matériel informatique. Un problème célèbre est le problème " P = NP ? ", L'un des problèmes du prix du millénaire .[76] Enfin, la théorie de l'information s'intéresse à la quantité de données qui peuvent être stockées sur un support donné et traite donc de concepts tels que la compression et l' entropie .

Mathématiques pures

Systèmes de nombres et théorie des nombres

L'étude de la quantité commence par les nombres, d'abord les nombres naturels familiers et les entiers («nombres entiers») et les opérations arithmétiques sur eux, qui sont caractérisés en arithmétique . Les propriétés plus profondes des nombres entiers sont étudiées en théorie des nombres , d'où proviennent des résultats aussi populaires que le dernier théorème de Fermat . La conjecture du premier jumeau et la conjecture de Goldbach sont deux problèmes non résolus en théorie des nombres.

Au fur et à mesure que le système numérique est développé, les nombres entiers sont reconnus comme un sous - ensemble des nombres rationnels (« fractions »). Ceux-ci, à leur tour, sont contenus dans les nombres réels , qui sont utilisés pour représenter les limites des séquences de nombres rationnels et de quantités continues . Les nombres réels sont généralisés aux nombres complexes . Selon le théorème fondamental de l'algèbre , toutes les équations polynomiales dans une inconnue avec des coefficients complexes ont une solution dans les nombres complexes, quel que soit le degré du polynôme. et sont les premières étapes d'une hiérarchie de nombres qui inclutquaternions et octonions . La prise en compte des nombres naturels conduit également aux nombres transfinis , qui formalisent le concept d '« infini ». Un autre domaine d'étude est la taille des ensembles, qui est décrite avec les nombres cardinaux . Ceux-ci incluent les nombres aleph , qui permettent une comparaison significative de la taille d'ensembles infiniment grands.

Structure

De nombreux objets mathématiques, tels que des ensembles de nombres et de fonctions , présentent une structure interne en conséquence d' opérations ou de relations définies sur l'ensemble. Les mathématiques étudient ensuite les propriétés de ces ensembles qui peuvent être exprimées en termes de cette structure; par exemple, la théorie des nombres étudie les propriétés de l'ensemble des entiers qui peuvent être exprimés en termes d' opérations arithmétiques . De plus, il arrive fréquemment que différents tels ensembles (ou structures ) structurés présentent des propriétés similaires, ce qui permet, par une étape supplémentaire d' abstraction , d'énoncer des axiomes.pour une classe de structures, puis étudiez aussitôt toute la classe de structures satisfaisant ces axiomes. Ainsi, on peut étudier des groupes , des anneaux , des champs et d'autres systèmes abstraits; ensemble, ces études (pour des structures définies par des opérations algébriques) constituent le domaine de l'algèbre abstraite .

Par sa grande généralité, l'algèbre abstraite peut souvent être appliquée à des problèmes apparemment sans rapport; par exemple, un certain nombre de problèmes anciens concernant les constructions de boussole et de règle ont finalement été résolus en utilisant la théorie de Galois , qui implique la théorie des champs et la théorie des groupes. Un autre exemple de théorie algébrique est l'algèbre linéaire , qui est l'étude générale des espaces vectoriels , dont les éléments appelés vecteurs ont à la fois quantité et direction, et peuvent être utilisés pour modéliser (les relations entre) points dans l'espace. C'est un exemple du phénomène selon lequel les domaines de la géométrie et de l' algèbre non liés à l'origine ont des interactions très fortes en mathématiques modernes.Combinatorics étudie les moyens d'énumérer le nombre d'objets qui correspondent à une structure donnée.

Espacer

L'étude de l'espace trouve son origine dans la géométrie , en particulier la géométrie euclidienne , qui combine l'espace et les nombres, et englobe le théorème de Pythagore bien connu . La trigonométrie est la branche des mathématiques qui traite des relations entre les côtés et les angles des triangles et avec les fonctions trigonométriques. L'étude moderne de l'espace généralise ces idées pour inclure la géométrie de plus haute dimension, les géométries non euclidiennes (qui jouent un rôle central en relativité générale ) et la topologie . Quantité et de l' espace à la fois jouer un rôle dans la géométrie analytique , la géométrie différentielle , etgéométrie algébrique . Les géométries convexes et discrètes ont été développées pour résoudre des problèmes de théorie des nombres et d' analyse fonctionnelle, mais sont maintenant poursuivies avec un œil sur les applications en optimisation et en informatique . Dans la géométrie différentielle se trouvent les concepts de faisceaux de fibres et de calcul sur les variétés , en particulier, le calcul vectoriel et tensoriel . Dans la géométrie algébrique se trouve la description des objets géométriques en tant qu'ensembles de solutions d' équations polynomiales , combinant les concepts de quantité et d'espace, ainsi que l'étude degroupes topologiques , qui combinent structure et espace. Les groupes de Lie sont utilisés pour étudier l'espace, la structure et le changement. La topologie, dans toutes ses nombreuses ramifications, a peut-être été le plus grand domaine de croissance des mathématiques du XXe siècle; il comprend la topologie des ensembles de points , la topologie de la théorie des ensembles , la topologie algébrique et la topologie différentielle . En particulier, les exemples de la topologie moderne sont la théorie de la métrizabilité , la théorie des ensembles axiomatiques , la théorie de l'homotopie et la théorie de Morse . La topologie comprend également la conjecture de Poincaré maintenant résolue, et les domaines encore non résolus de la conjecture de Hodge . D'autres résultats en géométrie et topologie, y compris le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler , n'ont été prouvés qu'à l'aide d'ordinateurs.

Changement

Comprendre et décrire le changement est un thème commun dans les sciences naturelles , et le calcul a été développé comme un outil pour l'étudier. Les fonctions apparaissent ici comme un concept central décrivant une quantité changeante. L'étude rigoureuse des nombres réels et des fonctions d'une variable réelle est connue sous le nom d' analyse réelle , avec une analyse complexe le champ équivalent pour les nombres complexes . L'analyse fonctionnelle concentre l'attention sur les espaces (généralement de dimension infinie) de fonctions. L'une des nombreuses applications de l'analyse fonctionnelle est la mécanique quantique. De nombreux problèmes conduisent naturellement à des relations entre une quantité et son taux de changement, et ceux-ci sont étudiés comme des équations différentielles . De nombreux phénomènes de la nature peuvent être décrits par des systèmes dynamiques ; La théorie du chaos précise les façons dont nombre de ces systèmes présentent un comportement imprévisible mais toujours déterministe .

Mathématiques appliquées

Les mathématiques appliquées se préoccupent des méthodes mathématiques généralement utilisées dans les sciences , l' ingénierie , les affaires et l' industrie . Ainsi, les «mathématiques appliquées» sont une science mathématique avec des connaissances spécialisées . Le terme mathématiques appliquées décrit également la spécialité professionnelle dans laquelle les mathématiciens travaillent sur des problèmes pratiques; en tant que profession axée sur des problèmes pratiques, les mathématiques appliquées se concentrent sur «la formulation, l'étude et l'utilisation de modèles mathématiques» en sciences, en génie et dans d'autres domaines de la pratique mathématique.

Dans le passé, les applications pratiques ont motivé le développement de théories mathématiques, qui sont ensuite devenues le sujet d'étude en mathématiques pures, où les mathématiques sont principalement développées pour elles-mêmes. Ainsi, l'activité des mathématiques appliquées est étroitement liée à la recherche en mathématiques pures .

Statistiques et autres sciences de la décision

Les mathématiques appliquées ont un chevauchement significatif avec la discipline des statistiques, dont la théorie est formulée mathématiquement, en particulier avec la théorie des probabilités . Les statisticiens (travaillant dans le cadre d'un projet de recherche) «créent des données qui ont du sens» avec un échantillonnage aléatoire et avec des expériences randomisées ; [77] la conception d'un échantillon statistique ou d'une expérience spécifie l'analyse des données (avant que les données ne deviennent disponibles). Lorsqu'ils reconsidèrent des données d'expériences et d'échantillons ou lorsqu'ils analysent des données d' études d'observation , les statisticiens «donnent un sens aux données» en utilisant l'art de la modélisation et la théorie de l' inférence - avec la sélection de modèleset estimation ; les modèles estimés et les prévisions qui en découlent devraient être testés sur de nouvelles données . [e]

La théorie statistique étudie les problèmes de décision tels que la minimisation du risque ( perte attendue ) d'une action statistique, comme l'utilisation d'une procédure dans, par exemple, l' estimation des paramètres , le test d'hypothèse et la sélection du meilleur . Dans ces domaines traditionnels de la statistique mathématique , un problème de décision statistique est formulé en minimisant une fonction objective , comme la perte ou le coût attendu , sous des contraintes spécifiques: par exemple, concevoir une enquête implique souvent de minimiser le coût d'estimation d'une moyenne de population avec un niveau de confiance. [78]En raison de son utilisation de l' optimisation , la théorie mathématique des statistiques partage des préoccupations avec d'autres sciences de la décision , telles que la recherche opérationnelle , la théorie du contrôle et l'économie mathématique . [79]

Mathématiques computationnelles

Les mathématiques computationnelles proposent et étudient des méthodes pour résoudre des problèmes mathématiques qui sont généralement trop volumineux pour la capacité numérique humaine. L'analyse numérique étudie les méthodes des problèmes d' analyse en utilisant l'analyse fonctionnelle et la théorie de l'approximation ; l'analyse numérique comprend l'étude de l' approximation et de la discrétisation au sens large avec une attention particulière pour les erreurs d'arrondi . L'analyse numérique et, plus largement, le calcul scientifique étudient également des sujets non analytiques de la science mathématique, en particulier la matrice algorithmique et la théorie des graphes. D'autres domaines des mathématiques computationnelles comprennent l'algèbre informatique et le calcul symbolique .

Prix ​​mathématiques

On peut dire que le plus prestigieux prix en mathématiques est la médaille Fields , [80] [81] créé en 1936 et décerné tous les quatre ans (sauf dans la Seconde Guerre mondiale) à jusqu'à quatre personnes. La médaille Fields est souvent considérée comme un équivalent mathématique du prix Nobel.

Le prix Wolf en mathématiques , institué en 1978, récompense les réalisations de toute une vie, et un autre prix international majeur, le prix Abel , a été institué en 2003. La médaille Chern a été introduite en 2010 pour reconnaître les réalisations de toute une vie. Ces distinctions sont décernées en reconnaissance d'un ensemble particulier de travaux, qui peuvent être innovants ou apporter une solution à un problème en suspens dans un domaine établi.

Une célèbre liste de 23 problèmes ouverts , appelés « problèmes de Hilbert », a été compilée en 1900 par le mathématicien allemand David Hilbert . Cette liste a acquis une grande renommée parmi les mathématiciens, et au moins neuf des problèmes ont maintenant été résolus. Une nouvelle liste de sept problèmes importants, intitulée " Problèmes du Prix du Millénaire ", a été publiée en 2000. Un seul d'entre eux, l' hypothèse de Riemann , reproduit l'un des problèmes d'Hilbert. Une solution à l'un de ces problèmes comporte une récompense de 1 million de dollars. Actuellement, un seul de ces problèmes, la conjecture de Poincaré , a été résolu.

Voir également

  • Olympiade mathématique internationale
  • Listes de sujets mathématiques
  • Sciences mathématiques
  • Mathématiques et art
  • Enseignement mathématique
  • Musée national des mathématiques
  • Philosophie des mathématiques
  • Relation entre les mathématiques et la physique
  • Science, technologie, ingénierie et mathématiques

Remarques

  1. ^ Aucune ressemblance ou description de l'apparence physique d'Euclide faite au cours de sa vie n'a survécu à l'antiquité. Par conséquent, la représentation d'Euclide dans les œuvres d'art dépend de l'imagination de l'artiste (voir Euclide ).
  2. ^ Voir la fausse preuve pour des exemples simples de ce qui peut mal tourner dans une preuve formelle.
  3. ^ Pour considérer comme fiable un gros calcul intervenant dans une preuve, il faut généralement deux calculs à l'aide d'un logiciel indépendant
  4. ^ Le livre contenant la preuve complète compte plus de 1 000 pages.
  5. ^ Comme d'autres sciences mathématiques telles que la physique et l' informatique , la statistique est une discipline autonome plutôt qu'une branche des mathématiques appliquées. Tout comme les physiciens de recherche et les informaticiens, les statisticiens de la recherche sont des mathématiciens. De nombreux statisticiens sont diplômés en mathématiques et certains statisticiens sont également des mathématiciens.

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Lectures complémentaires

À Wikiversity , vous pouvez en apprendre
davantage et enseigner les mathématiques aux autres à l' École de mathématiques .
  • Mathématiques à l' Encyclopædia Britannica
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  • Hazewinkel, Michiel, éd. (2000). Encyclopédie des mathématiques . Éditeurs universitaires Kluwer. - Une version traduite et développée d'une encyclopédie de mathématiques soviétique, en dix volumes. Également en livre de poche et sur CD-ROM, et en ligne .
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  • Maier, Annaliese (1982). Steven Sargent (éd.). Au seuil de la science exacte: Écrits sélectionnés d'Annaliese Maier sur la philosophie naturelle médiévale tardive . Philadelphie: University of Pennsylvania Press.
  • Pappas, Theoni (juin 1989). La joie des mathématiques (édition révisée). Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8.