Addition

En mathématiques , la sommation est l' addition d'une séquence de n'importe quel type de nombres , appelés additions ou additions ; le résultat est leur somme ou total . A côté des nombres, d'autres types de valeurs peuvent également être sommés : fonctions , vecteurs , matrices , polynômes et, en général, éléments de tout type d' objets mathématiques sur lesquels une opération notée "+" est définie.

Les sommations de suites infinies sont appelées séries . Ils impliquent le concept de limite et ne sont pas pris en compte dans cet article.

La sommation d'une séquence explicite est notée comme une succession d'additions. Par exemple, la somme de [1, 2, 4, 2] est notée 1 + 2 + 4 + 2 et donne 9, c'est-à-dire 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Parce que l'addition est associative et commutative , il n'y a pas besoin de parenthèses, et le résultat est le même quel que soit l'ordre des sommations. La sommation d'une séquence d'un seul élément donne cet élément lui-même. La sommation d'une séquence vide (une séquence sans éléments), par convention, donne 0.

Très souvent, les éléments d'une séquence sont définis, par un motif régulier, en fonction de leur place dans la séquence. Pour les motifs simples, la sommation de longues séquences peut être représentée avec la plupart des sommations remplacées par des ellipses. Par exemple, la somme des 100 premiers nombres naturels peut être écrite comme 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 . Sinon, la sommation est notée en utilisant la notation , oùest une lettre grecque majuscule agrandie sigma . Par exemple, la somme des n premiers entiers naturels peut être notée comme

Pour les sommations longues et les sommations de longueur variable (définies avec des ellipses ou une notation ), il est courant de trouver des expressions fermées pour le résultat. Par exemple, [un]

Bien que de telles formules n'existent pas toujours, de nombreuses formules de sommation ont été découvertes, certaines des plus courantes et des plus élémentaires étant répertoriées dans le reste de cet article.

Notation sigma majuscule

Le symbole de sommation

La notation mathématique utilise un symbole qui représente de manière compacte la sommation de nombreux termes similaires : le symbole de sommation ,, une forme agrandie de la lettre grecque majuscule sigma . Ceci est défini comme

i est l' indice de sommation ; a i est une variable indexée représentant chaque terme de la somme ; m est la borne inférieure de la sommation et n est la borne supérieure de la sommation . Le " i = m " sous le symbole de sommation signifie que l' indice i commence égal à m . L'indice, i , est incrémenté de un pour chaque terme successif, s'arrêtant lorsque i = n . [b]

Ceci est lu comme "somme de a i , de i = m à n ".

Voici un exemple montrant la somme des carrés :

En général, alors que n'importe quelle variable peut être utilisée comme indice de sommation (à condition qu'aucune ambiguïté ne soit encourue), certaines des plus courantes incluent des lettres telles que , et . [1]

Alternativement, l'indice et les limites de sommation sont parfois omis de la définition de sommation si le contexte est suffisamment clair. Cela s'applique en particulier lorsque l'index va de 1 à n. [2] Par exemple, on pourrait écrire que :

On voit souvent des généralisations de cette notation dans lesquelles une condition logique arbitraire est fournie, et la somme est destinée à être prise sur toutes les valeurs satisfaisant la condition. Par example:

est la somme de sur tout (entiers) dans la plage spécifiée,

est la somme de sur tous les éléments dans l'ensemble , et

est la somme de sur tous les entiers positifs partage . [c]

Il existe également des moyens de généraliser l'utilisation de nombreux signes sigma. Par example,

est le même que

Une notation similaire est appliquée lorsqu'il s'agit de désigner le produit d'une séquence , qui est similaire à sa sommation, mais qui utilise l'opération de multiplication au lieu d'addition (et donne 1 pour une séquence vide au lieu de 0). La même structure de base est utilisée, avec, une forme agrandie de la lettre majuscule grecque pi , remplaçant le.

Cas spéciaux

Il est possible de sommer moins de 2 nombres :

  • Si la sommation a une sommation , alors la somme évaluée est .
  • Si la sommation n'a pas de sommation, alors la somme évaluée est zéro , car zéro est l' identité pour l'addition. C'est ce qu'on appelle la somme vide .

Ces cas dégénérés ne sont généralement utilisés que lorsque la notation de sommation donne un résultat dégénéré dans un cas particulier. Par exemple, sidans la définition ci-dessus, alors il n'y a qu'un seul terme dans la somme ; si, alors il n'y en a pas.

La sommation peut être définie récursivement comme suit :

, pour b < a ;
Pour ba .

Dans la notation de la théorie de la mesure et de l' intégration , une somme peut être exprimée comme une intégrale définie ,

est le sous - ensemble des entiers de à , et où est la mesure de comptage .

Étant donné une fonction f définie sur les entiers de l' intervalle [ m , n ] , l'équation suivante est vraie :

C'est l'analogue du théorème fondamental du calcul dans le calcul des différences finies , qui stipule que :

est la dérivée de f .

Un exemple d'application de l'équation ci-dessus est le suivant :

En utilisant le théorème du binôme , cela peut être réécrit comme:

La formule ci-dessus est plus couramment utilisée pour inverser l' opérateur de différence , Défini par:

f est une fonction définie sur les entiers non négatifs. Ainsi, étant donné une telle fonction f , le problème est de calculer l' anti - différence de f , une fonction tel que . C'est-à-dire,Cette fonction est définie à l'ajout d'une constante près, et peut être choisie comme [3]

Il n'y a pas toujours d' expression fermée pour une telle sommation, mais la formule de Faulhaber fournit une forme fermée dans le cas oùet, par linéarité , pour toute fonction polynomiale de n .

Beaucoup de ces approximations peuvent être obtenues par la connexion suivante entre les sommes et les intégrales , qui est valable pour toute fonction croissante f :

et pour toute fonction décroissante f :

Pour des approximations plus générales, voir la formule d'Euler-Maclaurin .

Pour les sommations dans lesquelles la somme est donnée (ou peut être interpolée) par une fonction intégrable de l'indice, la somme peut être interprétée comme une somme de Riemann apparaissant dans la définition de l'intégrale définie correspondante. On peut donc s'attendre à ce que par exemple

puisque le membre de droite est par définition la limite pour du côté gauche. Cependant, pour une sommation donnée, n est fixe, et on peut dire peu de choses sur l'erreur dans l'approximation ci-dessus sans suppositions supplémentaires sur f : il est clair que pour les fonctions extrêmement oscillantes la somme de Riemann peut être arbitrairement éloignée de l'intégrale de Riemann.

Les formules ci-dessous impliquent des sommes finies ; pour les sommations infinies ou les sommations finies d'expressions impliquant des fonctions trigonométriques ou d'autres fonctions transcendantales , voir la liste des séries mathématiques .

Identités générales

( distributivité ) [4]
( commutativité et associativité ) [4]
(décalage d'index)
pour une bijection σ d'un ensemble fini A sur un ensemble B (changement d'indice) ; ceci généralise la formule précédente.
(fractionner une somme, en utilisant l' associativité )
(une variante de la formule précédente)
(la somme du premier au dernier terme est égale à la somme du dernier au premier)
(un cas particulier de la formule ci-dessus)
(commutativité et associativité, encore)
(une autre application de la commutativité et de l'associativité)
(diviser une somme en ses parties impaires et paires, pour les indices pairs)
(diviser une somme en ses parties impaires et paires, pour les indices impairs)
( distributivité )
(la distributivité permet la factorisation)
(le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes des facteurs)
(l' exponentielle d'une somme est le produit de l'exponentielle des sommes)

Puissances et logarithme des progressions arithmétiques

pour tout c qui ne dépend pas de i
(Somme de la progression arithmétique la plus simple , constituée des n premiers nombres naturels .) [3] : 52
(Somme des premiers nombres naturels impairs)
(Somme des premiers nombres naturels pairs)
(Une somme de logarithmes est le logarithme du produit)
(Somme des premiers carrés , voir nombre pyramidal carré .) [3] : 52
( Théorème de Nicomaque ) [3] : 52

Plus généralement, on a la formule de Faulhaber pour

désigne un nombre de Bernoulli , etest un coefficient binomial .

Indice de sommation en exposants

Dans les sommations suivantes, a est supposé différent de 1.

(somme d'une progression géométrique )
(cas particulier pour a = 1/2 )
( a fois la dérivée par rapport à a de la progression géométrique)
(somme d'une suite arithmétique-géométrique )

Coefficients binomiaux et factorielles

Il existe de très nombreuses identités de sommation impliquant des coefficients binomiaux (un chapitre entier de Mathématiques concrètes est consacré aux seules techniques de base). Certains des plus basiques sont les suivants.

Impliquant le théorème du binôme

le théorème du binôme
le cas particulier où a = b = 1
, le cas particulier où p = a = 1 − b , qui, pour exprime la somme de la distribution binomiale
la valeur à a = b = 1 de la dérivée par rapport à a du théorème du binôme
la valeur en a = b = 1 de la primitive par rapport à a du théorème du binôme

Impliquant des nombres de permutation

Dans les résumés suivants, est le nombre de k -permutations de n .

, où et désigne la fonction plancher .

Autres

Numéros d'harmoniques

(c'est le n ième harmonique )
(c'est un nombre harmonique généralisé )

Voici des approximations utiles (en utilisant la notation thêta ) :

pour c réel supérieur à −1
(Voir Numéro d'harmonique )
pour réel c supérieur à 1
pour un réel non négatif c
pour réel non négatif c , d
pour réel non négatif b > 1, c , d

  • notation d'Einstein
  • Support Iverson
  • Opération binaire itérée
  • Algorithme de sommation de Kahan
  • Produits de séquences
  • Produit (mathématiques)
  • Somme par parties
  • Σ la somme glyphe unique (U + 2211 N-ARY SUMMATION )
  • ⎲ le début du glyphe apparié (U+23B2 SUMMATION TOP )
  • ⎳ la fin du glyphe apparié (U+23B3 SUMMATION BOTTOM )

  1. ^ Pour plus de détails, voir Nombre triangulaire .
  2. ^ Pour un exposé détaillé sur la notation de sommation et l'arithmétique avec des sommes, voir Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapitre 2 : Sommes". Mathématiques concrètes : une fondation pour l'informatique (PDF) (2e éd.). Addison-Wesley Professionnel. ISBN 978-0201558029.[ lien mort permanent ]
  3. ^ Bien que le nom de la variable muette n'ait pas d'importance (par définition), on utilise généralement des lettres du milieu de l'alphabet ( à travers ) pour désigner des nombres entiers, s'il existe un risque de confusion. Par exemple, même s'il ne devait y avoir aucun doute sur l'interprétation, cela pourrait sembler légèrement déroutant pour de nombreux mathématiciens de voir à la place de dans les formules ci-dessus impliquant . Voir aussi les conventions typographiques dans les formules mathématiques .

  1. ^ "Compendium des symboles mathématiques" . Coffre de maths . 2020-03-01 . Récupéré le 2020-08-16 .
  2. ^ "Notation de sommation" . www.columbia.edu . Récupéré le 2020-08-16 .
  3. ^ A b c d Manuel de discrètes et mathématiques combinatoires , Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN  0-8493-0149-1 .
  4. ^ un b "Calcul I - Notation de sommation" . tutorial.math.lamar.edu . Récupéré le 2020-08-16 .

  • Médias liés à la sommation sur Wikimedia Commons